Matek-Wigyorival
- Elmélet egyszerűen
- Számoljunk! - 7.

"Calvera: Nem értem, a te fajtád eleve minek vállalta el ezt a munkát, hm? Miért?
Chris Adams: Magam sem értem.
Calvera: Na, gyerünk. Áruld el, miért.
Vin: Egy fickó El Pasoban csupaszon egy kaktuszra ugrott. Ugyanezt kérdeztem tőle: Miért?
Calvera: És?
Vin: Azt mondta "Akkor jó ötletnek tűnt"."
(A hét mesterlövész)

"Hej-hó, hej-hó
Hollári-hoppla hó!"
(Hófehérke és a hét törpe)

Eljött a pillanat, hogy lerántsuk a leplet a 7-es szám misztikumáról. A 7 a következő prímszám, azaz megint "csak" 2 osztója van. De a 7-essel kapcsolatban mindenki rengeteg nevezetes dolgot fel tud sorolni.
A 7 törpén és 7 mesterlövészen kívūl eszünkbe juthat a 7 vezér, a 7 főbűn, "heten, mint a gonoszok", a hétfejű sárkány, Hetedhét országon túl, vagy a Lucky Seven, azaz a szerencsés hetes. De a testünknek is 7 fő csakrája - energiaközpontja van.
A legfontosabb dolog viszont akkor juthat az eszünkbe, ha ránézünk a naptárra. Magyar nyelvről a "hét" szót angolra például úgy is fordíthatjuk, hogy "seven", de úgy is, hogy week! Az egyik olyan fizikai tényező, melynél a mértékegységek átváltása nem 10-es alapú hatványokkal történik, az az idő.
A korai civilizációk az idő fogalmát a két legszembetűnőbb világító égitest: a Nap és a Hold változásai - váltakozásai alapján tudták meghatározni. A teljes holdciklus (valamikor) 28 napos volt, ennek a jól látható fázisai 7 naponta, azaz hetente változnak. És ne felejtsük el: a Biblia alapján ennyi idő alatt Isten megteremtette a világot és még szusszant is egyet!!!
A billentyűzeteken a shift+7 kombinációval az "=" jelet kapjuk meg. Az egyenlőségjelet a számtani műveletek végén használjuk, hogy leírjuk utána a számolás eredményét. Valamint az algebra egyik legfontosabb részénél: az egyenleteknél.
A matematikai összefüggések felírhatóak egyenletként, ahol az ismeretlen tényezőket (változókat) betűkkel (x.y.z; a,b,c; stb.) jelöljük. A változókat külön kezeljük a számoktól és egymástól is.
Az egyenletek megoldásánál azt a tulajdonságot használjuk fel, hogy az egyenlőség nem változik, ha mindkét oldalt ugyanannyival változtatjuk, azaz ugyanazt a műveletet hajtjuk végre.
Bármilyen elsőfokú egyenletet könnyen meg tudunk oldani az alábbi 7 lépés követésével. Természetesen, bármelyik lépés kihagyható, ha nem lehet elvégezni.
1. Ha van tört az egyenletben, akkor MINDENT közös nevezőre hozunk.
2. Beszorozzuk az egyenletet a közös nevezővel így eltűnnek a törtek.
3. Zárójelfelbontás. Miután a törtvonal zárójelet is jelent, a szorzás után lesznek zárójeles kifejezéseink. Ezeknél kell felbontani a zárójelet úgy, hogy minden tényezőt külön-külön megszorozzuk a zárójel előtti vagy utáni szorzótényezővel.
4. Összevonás. Összeadjuk az EGYNEMŰ tényezőket. Tehát külön az egyes változókat és külön a számokat.
5. Rendezés. Összeadásokkal és kivonásokkal addig rendezzük az egyenletet, amíg csak a változó lesz az egyik oldalon, a másik oldalon pedig csak szám.
6. Amennyivel meg van szorozva a változó, annyival osztjuk az egyenletet. (Ha a változó előtt csak egy mínusz jel van, akkor mínusz 1-gyel osztunk).
7. Ellenőrzés. A kapott értéket mindig az eredeti egyenletbe helyettesítjük be. Akkor jó a megoldásunk, ha a számolás végén az egyenlőségjel mindkét oldalán ugyanaz a szám szerepel.
Fontos, hogy az ellenőrzést mindig végezzük el! Egyrészt, mert a legtöbbször pontot ér, másrészt biztosak lehetünk, hogy jó a megoldásunk!
Egyenlőtlenségnél (tehát ahol kisebb/nagyobb jel van az egyenlőség helyén) ugyanezeket a lépéseket kell alkalmaznunk.Két fontos dologra figyelnünk kell viszont! Ha negatív számmal osztjuk vagy szorozzuk az egyenletet, a relációs jel megfordul. Ellenőrzésnél pedig ha azt a számot helyettesítjük be, amit az egyenlőtlenség végén kapunk, akkor egyenlőségjelet kell használnunk.
Amennyiben a 3. lépés - azaz a zárójelfelbontás - során a változónk önmagával is megszorzódik, már másodfokú egyenletről lesz szó. Másodfokú, mert a változónk a másodikon, azaz a négyzeten lesz. Innentől tér el kicsit a következő pár lépés:
4. Az összevonásnál figyelnünk kell arra, hogy CSAK egynemű kifejezéseket adjunk össze. Ez leegyszerűsítve azt jelenti, hogy ugyanazokat a betűket csak akkor adhatjuk össze, ha ugyanazon a hatványkitevőn is vannak.
5. A rendezésnél arra kell törekednünk, hogy az egyenletet "nullára" rendezzük. Tehát az egyenlet egyik oldala 0 lesz, a másikon pedig sorban a négyzetes változók, az elsőfokú változók, és a számok.

6. A megoldóképlet segítségével megoldjuk az egyenletet.

7. Ellenőrzés. Amennyiben 2 megoldást is kapunk, mindkét értékkel végezzük el a behelyettesítést.
Természetesen, az egyenletekben nem csak egyetlen ismeretlen lehet. Amennyiben több ismeretlenünk is van, csak úgy tudjuk megtalálni a megoldást, ha több egyenletünk is lesz, amit egyenletrendszernek hívunk. A többismeretlenes egyenletrendszerek akkor megoldhatóak, ha ugyanannyi egyenletünk van, mint amennyi változónk. Ilyenkor ki kell fejeznünk az egyes változókat ezekből az egyenletekből úgy, hogy egyetlen kiválasztott egyenlet maradjon, ahova be tudjuk helyettesíteni az egyes változók kifejezett értékét. Ezután pedig megoldjuk a kapott egyismeretlenes egyenletet, majd visszahelyettesítéssel kiszámoljuk a többi ismeretlent is.
A két ismeretlennel rendelkező egyenlet más megközelítésből tulajdonképpen nem más mint egy függvény. A függvényeket a matematikában 3 különböző módon is jelölik:

Miután mind a 3 jelölés ugyanazt jelenti, szerintem érdemes az "y"-os formátumot használni.
A függvényeket a Descartes-féle koordinátarendszerben ábrázolni is tudjuk. Itt az "x" lesz, amire a függvényt értelmezzük (értelmezési tartomány), az "y" pedig a fūggvény értéke (értékkészlet). Bármilyen függvényt úgy tudunk ábrázolni, hogy kiválasztunk néhány számot az x tengelyen, majd ezeket behelyettesítve kiszámoljuk a hozzájuk tartozó y értékeket, majd ezeket a pontotat jelöljük, és a kapott pontokat összekötjük.
A fenti példánkban szereplő y=2x+3 függvényünk tipikus "lineáris", azaz egyenes függvény. Ha ezt ábrázoljuk, akkor a függvény a 3-nál metszi az y tengelyt, és 2-szeres lesz a meredeksége. Azaz, a (0;3) ponttól 1 egységnyivel jobbra, és 2 egységnyivel felfelé találjuk a következő könnyen jelölhető pontot. (Törtes meredekségnél a nevező az x tengelyen, a számláló pedig az y tengelyen történő "elmozdulást" jelenti.)

Ahogy azt már említettem, ez gyakorlatilag egy két ismeretlenes egyenlet. Ha megfelelő formátumba rendezzük, akkor megkapjuk, amit a koordináta-geometriában az egyenes egyenletének hívunk. Azaz: 2x-y=-3 .
Azért is célszerű ebben a formában felírni a függvényeket, mert így könnyen kiszámolhatjuk, hogy a függvény pontosan hol metszi a tengelyeket. Ha az egyik tengelyen lévő pontot keressük, akkor a másik tengelynél 0-t fogunk kapni. Tehát elég behelyettesíteni az x vagy az y helyére a 0-t, és ki tudjuk számolni a másik értéket.
Függvényeknél is lehetséges, hogy az "x" négyzeten, azaz a másodikon szerepel. A másodfokú függvény ábrázolása egy fokkal nehezebb, mint az egyenesé. Az alapfüggvény:

Ha ezt ábrázoljuk, akkor egy parabolát kapunk, melynek csúcsa az origó lesz.

Természetesen, ezt a függvényt is tudjuk többféleképpen módosítani. Az általános formátuma:

Ennél a formátumnál az "a" jelenti a parabola meredekségét, a "b" azt az értéket, aminek a -1-szeresével elmozdul a parabola az x tengelyen, a "c" pedig az a szám, amivel az y tengelyen változik a parabola helyzete. Pl. ennek a függvénynek:

Ilyen lesz a grafikonja:

Ha a függvényről nem lehet pontosan megállapítani, hogy hol metszi az x tengelyt (azaz hol a zérus helye), akkor ebbe a függvénybe (két ismeretlenes egyenlet) az y helyére behelyettesítjük a 0-t, és a zárójelfelbontás és összevonás után a megoldóképlettel megoldjuk a kapott másodfokú egyenletet:

Így megkapjuk, hogy a két "gyök" a 3 és az 5 lesz.
Természetesen ez a módszer "visszafelé" is használható. Azaz, egy másodfokú egyenletet teljes négyzetté alakítással átrendezünk a függvényes formátumba, majd ábrázoljuk (ezzel is ellenőrizve a számításainkat). Ez egyébként a másodfokú egyenlőtlenségeknél hasznos, mert ott a függvény alapján könnyen el tudjuk dönteni, hogy mely tartomány(ok) lesz(nek) kisebb(ek)/nagyobb(ak), mint 0.
A harmadik gyakran szereplő függvényünk az abszolút érték függvény. Ebben az esetben az alapfüggvény:

Aminek V alakú lesz a grafikonja:

Hasonlóan a másodfokú függvényhez, itt is ha módosítjuk a függvényt,

az "a" a meredekséget, a "b" az x tengelyen -1-szeres elmozdulást, a "c" pedig az y tengelyen történő mozgatást jelzi. Az abszolút érték jel a zárójelet is jelenti.
Összegezve:
Minden függvényt értelmezhetünk két ismeretlenes egyenletként, és bármelyik ismeretlen (koordináta) helyére pontos értéket behelyettesítve ki tudjuk számolni a változót.
Bármilyen első- vagy másodfokú egyenletet meg tudunk oldani a 7 lépés használatával
Tehát többféle megoldási módszert is tudunk használni ugyanahhoz a feladathoz, amik együttes használatával ellenőrizni is tudjuk magunkat.
A legegyszerűbb a legkézenfekvőbb!